DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires


DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

L’étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l’interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l’ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d’effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent pas prendre en compte. Inversement, on peut dire que c’est l’existence de ces phénomènes nouveaux – apparition de chocs ou de singularités, comportement asymptotique profondément différent de celui des problèmes linéaires – qui rend la théorie difficile et qui conduit à faire appel à un arsenal mathématique très vaste. L’interaction avec le reste de la mathématique se fait aussi en sens inverse, car un certain nombre de problèmes abstraits se traitent à l’aide d’équations aux dérivées partielles non linéaires. Les liens avec l’analyse numérique sont continuels, et s’effectuent dans les deux sens. D’une part, on utilise l’analyse des équations aux dérivées partielles non linéaires pour construire des algorithmes numériques utilisés de plus en plus systématiquement. D’autre part, on se sert de l’ordinateur comme outil d’investigation. On effectue des calculs approchés concernant des phénomènes sur lesquels on ne possède que très peu d’information et, de ces calculs approchés, on déduit des conjectures que l’on s’efforcera par la suite de démontrer. Cette démarche, pressentie par John von Neumann, s’est révélée particulièrement féconde.

Bien entendu, un certain nombre de questions propres aux problèmes linéaires peuvent se généraliser aux problèmes non linéaires si, d’une part, les perturbations dues aux non-linéarités sont petites, et si, d’autre part, la structure des problèmes linéarisés correspondants introduit assez de régularité. Il en est ainsi des théorèmes d’existence des solutions de systèmes elliptiques ou paraboliques non linéaires et du comportement asymptotique de solutions d’équations du type:

lorsque F(u ) est une non-linéarité d’ordre assez élevé pour introduire un terme négligeable pour u petit. Des problèmes de ce type interviennent par exemple en théorie de la diffusion non linéaire. Plutôt que de développer un tel point de vue, nous allons décrire des problèmes où la non-linéarité joue un rôle dominant. Dans ces exemples, nous dégagerons deux idées. La première idée est que les solutions sont en général peu régulières et donc que les solutions ne pourront avoir un sens qu’en utilisant la théorie des distributions. Encore plus que dans le cadre linéaire, cette théorie s’impose dans le cadre non linéaire. Cette situation introduit une difficulté supplémentaire pour la construction de solutions ou le passage à la limite dans les méthodes approchées. En effet, comme il s’agit d’un problème non linéaire, on sera conduit à étudier la limite d’expressions de la forme F(u n ), où F est non linéaire. En général, il sera facile de prouver que (u n ) converge vers une fonction u et F(u n ) vers une fonction G (au sens des distributions), mais il sera difficile de prouver que F(u ) = G. Par exemple, pour n tendant vers l’infini, la fonction u n (x ) = sin nx converge vers 0 au sens des distributions, tandis que la fonction:

converge vers 1/2, toujours au sens des distributions.

Bien entendu, cette pathologie s’explique par le fait que, pour n tendant vers l’infini, la fonction sin nx oscille de plus en plus vite. On sera donc amené à montrer que, dans un sens convenable, les oscillations des solutions approchées ne sont pas trop grandes; mais, justement, ce point est en contradiction avec l’existence de solutions singulières, et une analyse très fine est alors nécessaire.

La seconde idée est de faire appel, beaucoup plus que dans le cas linéaire, à la comparaison avec les équations différentielles ordinaires. Par exemple, on peut montrer qu’une onde de choc se forme en comparant la dérivée de la vitesse à la solution de l’équation différentielle ordinaire:

donnée par y (t ) =1/(1 漣 ty 0), qui devient infinie en un temps fini. De tels phénomènes apparaissent aussi dans la description de la focalisation de rayons lasers. On peut montrer de plus que, pour des temps grands, les solutions de certaines équations (Navier-Stokes par exemple) restent proches de problèmes en dimension finie. Inversement, des problèmes non linéaires à très peu de degrés de liberté peuvent exhiber beaucoup de pathologie.

Ainsi, il n’existe pas de théorie générale du non-linéaire et cet article est une collection d’exemples significatifs. La non-linéarité intervient dans beaucoup d’autres problèmes, en particulier dans les équations elliptiques qui décrivent les surfaces minimales, dans les équations de Monge-Ampère et dans les équations de Yang-Mills de la théorie quantique des champs.

1. Les systèmes hyperboliques non linéaires

On se propose de considérer des systèmes de la forme:

u est un vecteur à m composantes et Fi une fonction régulière de Rm dans Rm . Son gradient (par rapport à u ) est donc une matrice Ai (u ), et on dira que le système (1) est non linéaire hyperbolique si les Ai sont des fonctions non linéaires de u et si les valeurs propres de la matrice:

sont toutes réelles pour tout vecteur 﨡 = ( 﨡1, 﨡2, ..., 﨡m ) 捻 Rm .

De tels systèmes se rencontrent dans de nombreux domaines de la physique (mécanique des fluides, magnéto-hydrodynamique, combustion, etc.). Ils correspondent à des problèmes physiques célèbres, comme le calcul de la traînée et de la portance d’une aile d’avion, ou la propagation d’une onde de choc.

Pour comprendre la difficulté du problème, on peut considérer un modèle « abstrait » qui décrit la distribution des vitesses d’un fluide monodimensionnel sans force extérieure. Le mouvement des particules est donné par l’équation différentielle ordinaire:

et la relation fondamentale de la mécanique conduit à écrire:

L’équation ainsi obtenue est dite équation de Burger. On déduit de (3) que l’on a:

et donc que u est constant le long des solutions de (2), ce qui implique ensuite que les courbes définies par (2) sont en fait des droites. Cela permet de construire la solution de l’équation de Burger:

pour une donnée initiale régulière 﨏, et pendant un temps petit, en inversant l’équation:

et posant u (x , t ) = 﨏( 﨡x ). Un tel procédé n’est possible que tant que l’équation (4) est résoluble. Or, l’équation (4) cesse d’être résoluble dès que deux droites caractéristiques se rencontrent, ce qui correspond à un choc entre les molécules de fluides et empêche que la solution reste continue. On est donc conduit à chercher une solution discontinue de (3) après le choc, c’est-à-dire une fonction u -mesurable et bornée qui vérifie (4) au sens des distributions. En particulier, si elle est discontinue le long d’une courbe x = s (t ), dite courbe de choc, elle devra vérifier la relation de saut:

u + et u - désignent les vitesses du fluide avant et après le choc. Une telle relation, qui est contenue dans la formulation (4), au sens des distributions, est dite relation de Rankine-Hugoniot. En fait, un choc correspond à une perte d’information et, sur des exemples simples, on voit que la relation (4) ne suffit pas à assurer l’unicité de la solution. Il convient d’ajouter une condition supplémentaire qui signifie que les caractéristiques rentrent dans le choc. Une telle condition est dite condition d’entropie et elle est, dans cet exemple, équivalente à la condition u +u - qui signifie que, dans un choc, la vitesse diminue. On est donc conduit à résoudre l’équation (4) dans le cadre des fonctions qui admettent des discontinuités et qui vérifient de plus la relation d’entropie. La vérification de cette relation d’entropie introduit une difficulté car elle fait intervenir les courbes de choc, qui sont elles-mêmes des inconnues du problème. Pour simplifier, on introduit une fonction 兀(u ), strictement convexe, quelconque et on note g (u ) la primitive de la fonction 兀 (u ) . u ; on remarque que là où u est une solution régulière, elle vérifie la relation:

Cela cesse d’être vrai là où il y a des discontinuités, car la condition de saut pour le premier membre de (5) est en général différente de la relation de Rankine-Hugoniot. Ainsi:

est une distribution dont le support est porté par l’ensemble des points singuliers de u . Il est ensuite facile de voir que la relation u -u + est équivalente au fait que cette distribution est négative. Une solution faible entropique est donc une fonction qui vérifie au sens des distributions les équation et inéquation:

Dans le cas scalaire, on peut généraliser ces notions à un système à n variables d’espace:

À toute fonction 兀(u ), on associe alors une fonction G(u ) définie par:

et on démontre qu’il existe une unique fonction u , solution au sens des distributions dans Rn x 憐 [0, 秊 ] du problème:

où 﨏 désigne la donnée initiale, et 兀 une fonction quelconque strictement convexe. Un des outils essentiels ici est l’utilisation des espaces de fonctions à variation bornée qui, en gros, sont des espaces de fonctions dont les dérivées, au sens des distributions, sont des mesures. Ces espaces sont assez vastes pour contenir des fonctions discontinues mais suffisamment réguliers pour satisfaire à des théorèmes de convergence adaptés aux problèmes non linéaires. Par exemple, la suite de fonctions déjà citée u n (x ) = sin nx n’est pas uniformément à variation bornée. Une idée de base pour la construction de la solution est d’introduire l’équation perturbée:

C’est une équation parabolique non linéaire dont la résolution est beaucoup plus facile car la présence du laplacien empêche la formation de chocs. Lorsque 﨎 tend vers zéro, u size=1 converge vers une solution de:

De plus, si on multiplie par 兀 (u size=1), on obtient:

Comme 兀 (u size=1) est positif, on en déduit la relation:

Il est facile de montrer que u size=1 est borné et donc que:

converge vers zéro au sens des distributions. On obtient ainsi l’inégalité d’entropie.

Dans la plupart des problèmes physiques, u n’est pas un scalaire mais un vecteur, car le système est décrit par plusieurs paramètres; en particulier, en mécanique des fluides, par la densité, les composantes de la vitesse et la température. On obtient donc des systèmes de la forme:

Comme dans le cas scalaire, ces systèmes génèrent des ondes de choc, donc il est indispensable de chercher des solutions faibles. On est amené à généraliser la relation de saut (cf. supra ) et la condition d’entropie. Pour l’entropie, une condition supplémentaire apparaît car 兀(u ) est maintenant une fonction de m variables réelles. On peut multiplier à gauche l’équation (12) par le vecteur 暴兀(u ), mais il n’existe pas en général de fonction g i (u ) de m variables qui vérifie la relation:

car le vecteur figurant à droite de (13) n’est en général pas un vecteur gradient; il faut (et, dans les exemples que l’on considère en mécanique des fluides, il suffit) que l’on ait les relations:

Un calcul simple montre que ces relations sont équivalentes à la relation matricielle:

ou, ce qui revient au même, à la symétrie des matrices 暴2 兀(u ) . 暴Ai (u ). Il se trouve que la plupart des systèmes hyperboliques possèdent une fonction 兀(u ) qui vérifie les propriétés de commutation (14). Cette fonction coïncide, à un éventuel changement de signe près, avec la fonction d’entropie introduite en thermodynamique. Ce fait justifie a posteriori le nom de fonction d’entropie pour 兀(u ) et de flux d’entropie pour g(u ) = (g 1(u ), g 2(u ), ..., g n (u )). Cette notion a deux conséquences importantes. D’une part, elle conduit à caractériser les solutions des systèmes par les équation et inéquation suivantes:

satisfaites au sens des distributions . D’autre part, dans la phase de régularité (par exemple pour un temps petit), avec des données initiales régulières, le système (12) est équivalent à:

Si on utilise ce système pour étudier des perturbations autour d’un état stationnaire constant , on est conduit aux équations:

qui constituent un système symétrique hyperbolique.

Ces considérations justifient l’importance pratique des systèmes symétriques, dont les applications s’étendent bien au-delà des équations de Maxwell et de Dirac.

Bien que les systèmes hyperboliques non linéaires aient suscité depuis longtemps l’intérêt des mathématiciens (par exemple, en 1930, Courant et Friedrichs étudiaient les problèmes hyperboliques posés par le vol supersonique), on ne dispose pas de théorèmes permettant de prouver dans un cadre assez général l’existence et l’unicité de la solution d’un tel système. Pour u vecteur, le seul théorème actuellement disponible est relatif à une seule variable d’espace. Une démonstration, qui sera évoquée dans l’article équations aux DÉRIVÉES PARTIELLES -Analyse numérique des équations aux dérivées partielles, a été donné par Glimm en 1966 sous des hypothèses assez générales; à part un traitement particulier du problème de l’élasticité non linéaire, dû à Di Perna, elle n’a pas été améliorée depuis. Le modèle monodimensionnel est cependant très étudié car il correspond par exemple à la propagation d’une onde de choc dans un piston de moteur à explosion. Il permet aussi de considérer des problèmes possédant une symétrie sphérique, comme le problème de l’explosion de la poudre autour des masses critiques d’une bombe atomique.

2. Les équations de Navier-Stokes

Le chapitre précédent était consacré aux systèmes hyperboliques non linéaires, domaine où la différence entre le comportement des problèmes linéaires et les comportements des problèmes non linéaires apparaît de manière très évidente. Mais ces systèmes présentent les inconvénients suivants:

Il n’existe que des résultats partiels et la plupart des questions restent largement ouvertes.

Les applications concernent surtout la mécanique des fluides compressibles. Les lois de conservation classiques donnent alors un système d’équations qu’il faut compléter par une loi d’état , par exemple p = R 福T (pour les gaz parfaits); cette loi dépend du modèle considéré et peut être obtenue soit par des arguments physiques, soit (sans qu’aucune justification mathématique ne soit actuellement disponible) à partir de l’équation de Boltzmann (calcul des coefficients de transport par la méthode de Chapman-Enskog, cf. L. BOLTZMANN). On a donc un système qui est toujours compliqué et particulier.

Pour les raisons qui précèdent, l’intérêt s’est porté sur les équations d’Euler ou de Navier-Stokes, qui s’obtiennent en supposant le fluide incompressible mais en considérant éventuellement des termes de viscosité.

Les équations de Navier-Stokes et d’Euler présentent les propriétés suivantes. Elles sont (lorsque le problème est posé dans R2 ou dans R3) invariantes par le groupe des déplacements, les transformations galiléennes:

a est une constante, et par les changements d’échelle:

h est réel arbitraire et 礪 0. D’autre part, on sait, dans certains cas (en particulier avant la formation des chocs), montrer que les solutions des problèmes compressibles convergent, lorsque la compressibilité disparaît, vers les solutions des équations de Navier-Stokes. Enfin, on dispose de théorèmes d’existence et de méthodes de calcul différents et plus systématiques dans le cas des équations de Navier-Stokes que dans le cas des problèmes de fluides compressibles.

Les équations de Navier-Stokes mettent en jeu n + 1 inconnues dans un ouvert 行 de Rn (avec n = 2 ou 3), un champ de vecteurs ぴ = (u 1, u 2, ..., u n ), et une pression p . Elles s’écrivent sous la forme:

désigne la normale extérieure à la frontière de l’ouvert:

Le cas 益 = 0 correspond aux équations d’Euler , qui sont donc antérieures aux équations de Navier-Stokes, la contribution de Navier étant d’approcher la viscosité par le terme 益 u , 益 礪 0. Ce terme, qui peut être très petit, est de l’ordre de 1/R (où R est le nombre de Reynolds défini dans AÉRODYNAMIQUE): il permet cependant de simplifier considérablement l’analyse mathématique.

Comme dans le chapitre 1, u (x , t ) représente un champ de vitesse du fluide; ainsi, en supposant que u (x , t ) est une fonction régulière, on est conduit à introduire les trajectoires des particules du fluide, données par les équations:

Compte tenu de (3), le champ u (x , t ) est soit tangent au bord 煉 行 de 行 si 益 = 0, soit nul sur 煉 行; ainsi, les trajectoires x (t ) restent à l’intérieur de 行 et, pour t fixé, l’application de 行 dans 行 définie par l’équation (5):

est une bijection de 行 sur 行. La relation (2) est équivalente, d’après un théorème dû à Liouville, au fait que l’application x 0x (t ) conserve les volumes.

L’équation de conservation de la masse s’écrit sous la forme:

On en déduit que si la densité 福(x , t ) est homogène et égale à 1 (pour fixer les idées) à l’instant zéro, elle reste constamment égale à 1. L’équation (1) n’est alors que l’équation classique de la mécanique, = m塚, dans laquelle le premier membre représente l’accélération et le second membre l’ensemble des forces qui contribuent au mouvement; f représente les forces extérieures comme la gravitation, 益 u l’action des forces de viscosité et 暴p les forces de pression. Contrairement à ce qui se passe dans la théorie des gaz compressibles, où la pression est calculée à partir des autres inconnues (vitesse, température et densité), par une loi d’état, ici la pression n’est créée que par l’incompressibilité et on peut considérer 暴p comme un multiplicateur de Lagrange lié à la relation 暴u = 0. On peut d’ailleurs éliminer ce terme, soit en utilisant le formalisme de l’analyse fonctionnelle, soit celui des opérateurs pseudodifférentiels. Dans le cas où 行 = R3, on peut faire un calcul explicite. En prenant la divergence des deux membres de (1), on obtient:

La dernière équation donne p par convolution avec le noyau 1/(4 神) 1/|x |. On obtient donc finalement:

Bien entendu, comme on l’avait indiqué, le second membre de (9) fait intervenir une intégrale singulière qui est un opérateur pseudodifférentiel d’ordre 漣 1. Enfin, la condition aux limites exprime dans le cas 益 礪 0 que la viscosité empêche tout mouvement sur les parois et, dans le cas 益 = 0, que le fluide est tangent aux parois.

On remarque ensuite que la condition 暴 練 u = 0 permet de donner une forme faible au terme d’advection. Plus précisément, pour toute fonction 﨏 捻(face=F0021 阮( 行))n , à divergence nulle, on a:

et:

ainsi, on dira qu’une fonction est solution faible si elle est à divergence nulle et vérifie au sens des distributions l’équation:

pour toute fonction 﨏 捻 (face=F0021 阮( 行))n à divergence nulle.

Pour construire une solution faible, il est essentiel d’obtenir des suites u size=1 qui appartiennent à L2(0, T 憐 行), pour T fixé arbitrairement grand, et qui convergent presque partout pour pouvoir passer à la limite dans le terme u i size=1u j size=1. Multipliant l’équation (1) par u et intégrant par parties, on obtient (en supposant que u est une fonction régulière) la relation:

cette relation (12) exprime le bilan d’énergie et, pour 益 positif, elle assure que l’expression:

est uniformément bornée. On introduit donc les espaces de type Sobolev suivants:

Compte tenu de la relation 暴u = 0, on peut définir, comme une distribution, la valeur de u . n | 煉 行; on a alors les inclusions V0 說 V1 說 H; l’espace V0 est fermé dans V1 et V1 est dense dans H. Appliquant l’inégalité (12), on peut prouver (ce résultat est, pour l’essentiel, dû à Leray) le théorème suivant:

Théorème 1. Pour tout u 0 捻 H, le problème (1)-(4) admet une solution faible au sens suivant: pour tout T 礪 0, u appartient à L 秊(0, T; H) 惡 L2(0, T; V0) et vérifie, pour toute fonction 﨏 de V0, la relation:

Le théorème 1 est valable pour tout T et en toute dimension d’espace (en particulier pour n = 2, 3, qui sont les cas physiques). Il caractérise la solution des équations de Navier-Stokes par une relation de type variationnel (comme pour les problèmes paraboliques); ainsi, les équations de Navier-Stokes se prêtent bien à des calculs numériques par éléments finis (cf. équations aux DÉRIVÉES PARTIELLES - Analyse numérique des équations aux dérivées partielles). Par contre, il y a une différence fondamentale entre le cas n = 2 et le cas n = 3. En dimension 2, on peut prouver que si f est régulière, alors u est aussi une fonction régulière, ce qui assure l’unicité de la solution. Par contre, en dimension 3, on ne sait pas prouver la régularité de la solution pour tout temps, et donc l’unicité, sauf si la donnée initiale 瑩u 0V0 est petite par rapport à la viscosité et si f est égale à 0. Dans ce cas, on démontre, par des méthodes de perturbation, l’existence d’une solution régulière pour tout temps.

Dans le cas 益 = 0, on ne dispose plus de l’estimation sur le gradient de la solution et ainsi on ne peut, en dimension 3, envisager l’étude d’une solution faible définie pour tout temps. Par contre, pour t petit, on peut appliquer à l’équation d’Euler un théorème de type Cauchy-Kowalewski (ce résultat sous sa forme primitive est dû à Lichtenstein en 1930 et il a été amélioré par de nombreux auteurs, sans que sa nature soit vraiment modifiée). La limitation sur le temps provient du fait suivant: on établit des estimations a priori sur la solution (ou sur une solution approchée) en majorant une norme convenable par la solution de l’équation différentielle ordinaire y = Cy 2 qui explose en un temps fini. Par contre, en dimension 2, on utilise le fait que le rotationnel (qui décrit le tourbillon) s’identifie à un vecteur perpendiculaire au plan du mouvement, ce qui, dans les équations, se traduit par la relation:

où 諸 désigne le rotationnel de u . La relation (14) implique qu’en dimension 2, et en l’absence de force extérieure (cette hypothèse n’est introduite que pour simplifier) on a la relation:

qui exprime la conservation du tourbillon au cours du mouvement. La relation (15) permet de contrôler la norme de u (x , t ) dans l’espace V1 dès que u 0 appartient à V1. On peut ainsi prouver l’existence pour tout temps d’une solution faible du problème (1)-(4) en dimension 2 avec 益 = 0. De plus, si le tourbillon est très régulier à l’instant t = 0, on peut montrer qu’il va rester régulier et établir ainsi la régularité et l’unicité de la solution (ce résultat non trivial utilise la dispersion de paire, c’est-à-dire l’analyse de l’évolution de la distance entre deux particules de fluide; il est dû à Wolibner vers 1930).

En parallèle avec les équations d’évolution, il est naturel de considérer des équations de Navier-Stokes stationnaires:

avec les conditions aux limites u | 煉 行 = 0 (avec 益 礪 0). Il est alors facile de voir que le problème (16) admet toujours des solutions, et n’en admet qu’une seule si 益 est grand.

Il reste autour des équations de Navier-Stokes un certain nombre de problèmes que nous allons commenter:

(I) Déterminer si, en dimension 3, les équations d’Euler présentent, comme les équations des fluides compressibles, des singularités au bout d’un temps fini. En effet, on ne dispose que d’une majoration d’une norme convenable de la solution et le fait que cette majorante devienne infinie ne donne aucune indication sur le comportement de la solution elle-même. Une raison fondamentale pour laquelle l’étude de l’apparition des singularités pour l’équation d’Euler est plus difficile que pour les équations des fluides compressibles est que les singularités ne résulteront pas du choc des molécules (à cause de la condition 暴u = 0) mais de phénomènes beaucoup plus complexes qui, a priori, n’ont aucune raison d’être localisés sur des surfaces.

(II) Déterminer si, en dimension 3, les solutions des équations de Navier-Stokes (avec 益 礪 0) présentent vraiment des singularités. Leray avait montré que si ces singularités existaient, elles résidaient sur un ensemble assez petit. Ce résultat a été progressivement amélioré et finalement Cafarelli, Kohn et Nirenberg ont montré que le support singulier de la solution de (1)-(4) est, pour tout 益 礪 0, contenu dans un ensemble de mesure de Hausdorff au plus égale à 1 dans l’espace à quatre dimensions Rx 3Rt .

(III) Déterminer si, en dimensions 2 et 3, les solutions des équations de Navier-Stokes avec 益 礪 0 convergent vers les solutions des équations d’Euler lorsque la viscosité tend vers 0. Ce problème est résolu en dimension 2 si 行 = R2 et en dimension 3 si 行 = R3, si on se limite à un temps assez petit (en relation avec l’existence locale des solutions). Par contre, si le domaine présente une frontière, la condition aux limites u| 煉 行 = 0 crée, pour 益 petit, une couche limite (région de fort tourbillon). Cette couche limite a une importance fondamentale dans les problèmes d’aérodynamisme (fig. 1). La non-linéarité du problème va entraîner une propagation de ces couches vers l’intérieur et donc, sur le plan mathématique, empêcher de contrôler la solution et de prouver sa convergence vers une solution de l’équation d’Euler.

(IV) Étudier la structure asymptotique, lorsque le temps augmente indéfiniment, des solutions de l’équation:

en relation avec les solutions de l’équation stationnaire:

Pour étudier les problèmes (17) et (18) dans un domaine borné 行, avec la condition aux limites u | 煉 行 = 0, on utilise les propriétés de l’opérateur 漣 益, en particulier le fait que sa résolvante est aussi compacte; on peut ainsi montrer (Temam) que l’ensemble des solutions de (18) appartient en général à une variété analytique de dimension finie et que les solutions de (17) résident aussi arbitrairement près d’une variété analytique de dimension finie. On peut en conclure que l’étude asymptotique des solutions de Navier-Stokes peut se déduire de l’étude des solutions des systèmes différentiels ordinaires; en particulier, on peut donner des conditions suffisantes sur 益 et f pour que la variation de 益 engendre une bifurcation de Hopf [cf. SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES].

Les problèmes mathématiques concernant les équations de Navier-Stokes sont reliés à différentes interprétations de la notion de turbulence. Lorsqu’on augmente expérimentalement le nombre de Reynolds d’un fluide (par exemple en augmentant les forces extérieures ou la vitesse des parois du récipient du fluide, ce qui par un changement d’inconnues se ramène à un problème de même nature), on voit le fluide passer d’un état régulier à un état turbulent.

L’état turbulent se caractérise par les propriétés suivantes.

Il apparaît des structures très complexes mais autosimilaires dans lesquelles le tourbillon prend des valeurs arbitrairement grandes. À petite échelle, ces structures sont homogènes, mais plus la taille du tourbillon augmente, plus les régions où celui-ci est grand sont petites. On dit que l’on a un phénomène d’intermittence (fig.1).

Compte tenu de leur universalité, les équations de Navier-Stokes devraient contenir dans leurs solutions tous les phénomènes de turbulence, en liaison avec les pathologies (I) à (IV). Voici des explications possibles de la turbulence:
a ) l’apparition de singularités au bout d’un temps fini pour les équations d’Euler en dimension 3;
b ) comportement « turbulent » lorsque la viscosité tend vers 0;
c ) une cascade de bifurcations dans les solutions de (18) qualitativement semblables aux bifurcations en dimension finie.

Il est conjecturé que ces trois phénomènes doivent avoir en commun un certain nombre de propriétés fondamentales, dont le fait de se produire sur des ensembles de dimension fractionnaire qui ressemblent à des ensembles de Cantor. En particulier, le problème (18) devrait exhiber, pour une valeur de 益 assez grande, un « attracteur étrange » [cf. SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES]. Signalons, d’une part, que des bornes supérieures pour la mesure de Hausdorff de ces éventuels attracteurs ont été obtenues par plusieurs auteurs (Douady et Osterlé, en 1980) et que, d’autre part, il est possible de construire des modèles simples qui présentent un comportement asymptotique turbulent. Un des meilleurs candidats pour cette démarche est le système de Lorenz. Il est obtenu à partir du problème de Bénard: on considère un fluide incompressible dans un récipient bidimensionnel chauffé par en dessous; les équations (17) et (18) sont alors couplées avec une équation pour la température et f se réduit aux forces de gravité. Lorenz développe alors u et f en série de Fourier et, ne conservant que trois des premiers coefficients, obtient le système:

Bien entendu, il n’y a aucune justification mathématique dans cette démarche, mais il est frappant de constater les similitudes entre les comportements asymptotiques des solutions de (19) et ceux, observés expérimentalement, du problème de Bénard (fig. 2).

3. L’équation de Korteweg et de Vries

En 1865, Scott Russell observa sur un canal rectiligne une onde de surface créée par le choc de deux péniches, qu’il appela onde solitaire ; il fut frappé par la stabilité du phénomène et raconte qu’il put la suivre à cheval, à vitesse constante, pendant plusieurs kilomètres.

Pour expliquer ce phénomène, dit de soliton , on peut utiliser un système de deux équations à une dimension d’espace:

dans lesquelles h désigne la hauteur de l’eau et u la vitesse du fluide, dans un canal supposé indéfiniment long et peu profond; g est une constante qui représente la gravité. Le système (1), (2) est un système hyperbolique non linéaire, du type évoqué dans le chapitre 2, et il s’obtient en écrivant les équations classiques des fluides incompressibles et en introduisant un paramètre petit lié à la profondeur du canal.

En effectuant un nouveau développement asymptotique, lié à l’amplitude de l’onde, Korteweg et de Vries obtinrent en 1895 l’équation:

où 見 et 廓 désignent des constantes. Par un changement de variables et d’inconnues, on peut écrire l’équation sous la forme:

Korteweg et de Vries observèrent que cette équation admet des solutions « ondes solitaires » de la forme:

ce sont des ondes qui se propagent avec la vitesse c sans se déformer. Cette situation est fondamentalement différente de celle qui peut se produire dans un modèle linéaire. Les équations linéaires dont les solutions se propagent sont les équations hyperboliques; les vitesses de propagation sont imposées par l’équation, et la forme de la solution qui se propage est indépendante de la vitesse. Dans cet exemple non linéaire, on peut avoir des ondes qui se propagent avec n’importe quelle vitesse positive, mais leur forme est imposée par la vitesse selon la formule (4). En particulier, plus la vitesse est grande, plus la solution est grande.

Intuitivement, on peut expliquer cette conservation de la forme par la compétition de deux phénomènes, en disant que l’équation (3) est un « mélange » des équations:

En multipliant (5) par u et en intégrant de 漣 秊 à + 秊, on observe que l’expression:

reste constante, autrement dit la solution ne tend pas vers 0 dans l’espace L2(R); mais on remarque, en utilisant par exemple la transformation de Fourier, que, pour x fixé (et pour une donnée initiale assez régulière), u (x , t ) tend vers 0 comme t size=13/2 pour t tendant vers l’infini. L’équation (5) décrit une onde qui se disperse, tandis que l’équation (6) est l’équation de Burger, étudiée au chapitre 1, qui engendre un choc.

En fait, l’équation de Korteweg-de Vries possède des solitons car les phénomènes de création de chocs et de dispersion se compensent pour arriver à un état d’équilibre. En 1965, Kruskal, Miura et Zabusky remarquèrent une analogie entre le système (1) et le modèle de Fermi-Pasta-Ulam. Ce modèle avait été introduit en 1950 pour décrire la répartition de l’énergie sur un cristal non conducteur; il était composé de 32 équations différentielles ordinaires non linéaires couplées et a été calculé par approximation numérique sur l’ordinateur Maniac I de Los Angeles. Les auteurs observèrent, au lieu d’une répartition uniforme de l’énergie sur tout le cristal, des phénomènes de périodicité ou de presque périodicité. Ces phénomènes furent expliqués beaucoup plus tard par Arnold, Moser et Kolmogorov dans le cadre de la théorie des systèmes hamiltoniens. Kruskal et d’autres entreprirent alors de discrétiser l’équation de Korteweg-de Vries et découvrirent deux types de phénomènes.
a ) Dans le cas où on considère des données initiales 﨏(x ) périodiques en espace, la solution reste périodique en espace mais est une fonction presque périodique en temps.
b ) Dans le cas où la donnée initiale 﨏(x ) est une fonction tendant vers 0 pour |x |+ 秊 et si elle est « composée » d’une somme finie d’ondes solitaires, ordonnée suivant la taille (les plus petites d’abord), alors les plus grandes ondes rattrapent les plus petites et, au bout d’un certain laps de temps, on obtient à nouveau une solution soliton, avec la différence que, maintenant, ce sont les plus grandes qui sont en avant: l’ordre s’est inversé.

La démonstration de ce type d’observation a pu être entreprise d’après une idée de Lax (1968). Il introduit un opérateur auxiliaire défini par la relation:

où D désigne ici la dérivation par rapport à x

L’opérateur H(t ) dépend du paramètre t par l’intermédiaire de la fonction u . C’est l’opérateur autoadjoint (dans l’espace de Hilbert L2(R)) usuel de la mécanique quantique. On cherche alors des conditions suffisantes pour que H(t ) reste unitairement équivalent à lui-même, ce qui signifie qu’il existe une famille U(t ) d’opérateurs linéaires unitaires de L2(R) sur lui-même tels que l’on ait:

Cela se produit, par exemple, si u (x, t ) est déformé par translation:

On remarque alors que u (x, t ) est solution de l’équation:

Plus généralement, soit L(t ) une famille d’opérateurs antiadjoints dans L2(R), dépendant assez régulièrement du paramètre t (en particulier, leur domaine en tant qu’opérateur antiadjoint est indépendant de t ), alors l’équation:

admet une unique solution donnée par 﨏(t ) = U(t ) 﨏0, où U est un opérateur unitaire. Dans le cas des équations (7) et (8), L(t ) est l’opérateur 漣 d/dx et U(t ) est le groupe des translations. Avec ce formalisme, on remarque par un calcul très simple que la relation:

est équivalente à la relation

L’équation (10) s’écrit aussi sous la forme particulièrement commode:

Comme H(t ) est l’opérateur (d 2/dx 2) + u (x , t ) (d H)/(dt ) est l’opérateur de multiplication par (face=F0019 煉u )/(face=F0019 煉t ).

Comme exemple d’opérateur moins trivial que 煉/(face=F0019 煉x ), on peut introduire l’opérateur:

L(t ) est un opérateur antiadjoint dans L2(R) ; pour que le second membre de (11) soit un opérateur de multiplication scalaire, il faut et il suffit que b figurant dans la définition de L(t ) et u figurant dans la définition de H(t ) soient reliés par la relation b = 漣 (3/4) u . On a alors :

et la relation (11) est alors équivalente à l’équation de Korteweg-de Vries. On a donc démontré le théorème suivant, dû à Lax: Pour que l’opérateur:

soit unitairement équivalent à l’opérateur:

par l’intermédiaire des opérateurs unitaires définis par

il faut et il suffit que la fonction u soit solution de l’équation de Korteweg-de Vries. Le progrès accompli est dû en particulier au fait que, pour |x |秊, L(t ) est unitairement équivalent à 煉3/(face=F0019 煉x 3).

D’autre part, on peut analyser les fonctions 﨏 solutions de l’équation:

ou, ce qui revient au même, faire l’analyse spectrale de l’opérateur:

On trouve deux types d’objets. Pour 麗 0, il existe une suite de nombres12 麗 ... 麗n 麗 0 pour lesquels (12) admet une solution 﨏 non identiquement nulle et de carré sommable. Ces nombres correspondent aux valeurs propres ou aux états liés du système. Bien entendu, si H(t ) reste unitairement équivalent à H(0), ces nombres sont constants. Les vecteurs propres correspondants 﨏k se comportent asymptotiquement, pour |x |秊, comme:

On choisit C+ tel que 﨏k soit un vecteur de norme 1 dans L2(R). Cette construction a engendré une famille de couples (k , Ck +(t )). Ensuite, on remarque que, pour = 﨡2, on peut, pour tout t , construire une solution oscillante 﨏 size=1 de (12) dont le comportement asymptotique est donné par:

Les lettres R et T réfèrent aux mots réflexion et transmission en liaison avec l’interprétation physique de cette construction.

On procède donc de la manière suivante: à tout opérateur de la forme 漣 D2 + u (x , t ), on associe les éléments (k , Ck +(t )), (T( 﨡), R( 﨡, t )), 﨡 捻 R. Cet ensemble s’appelle les données de scattering. On utilise alors un théorème de Gelfand-Levitan-Marchenko qui permet de déterminer le potentiel u (x , t ) à partir des données de scattering par une équation intégrale assez explicite. Le progrès effectué est le suivant. Comme, pour |x |秊, L(t ) se réduit à D3, le calcul du comportement asymptotique des solutions de (12) peut être fait explicitement en fonction des données de scattering à l’instant zéro; on détermine les données de scattering à l’instant t par les relations:

On obtient ensuite le potentiel u (x , t ) à l’instant t . L’ensemble de ce programme s’appelle la méthode inverse, et il fournit les outils qui permettent de démontrer les résultats observés numériquement par Kruskal, Miura et Zabusky dans le cas de données initiales tendant vers zéro à l’infini.

Dans le cas de problèmes périodiques, la situation est beaucoup plus compliquée, mais, en 1976, McKean et Trublowitz ont démontré que toutes les solutions u (x , t ) de l’équation de Korteweg-de Vries périodiques en espace étaient des fonctions quasi périodiques par rapport au temps, ce qui confirme les expériences numériques de Kruskal et d’autres. Tout autant que les résultats, l’esprit de ces démonstrations et les analogies qu’ils suggèrent sont fondamentales.

On remarque que les solutions du système peuvent s’écrire, en prenant les logarithmes des solutions des équations, sous la forme:

Ce sont des fonctions linéaires de t ; on dit que l’on a globalement intégré l’équation de Korteweg-de Vries. Cette situation est formellement identique au théorème de Liouville, dont nous rappelons l’énoncé. On considère dans R2n , ensemble des couples (p , q ), un système hamiltonien:

et on dit qu’une famile Ek (p , q ) de fonctions, 1 諒 km , forme un système linéairement indépendant en involution si les deux conditions suivantes sont satisfaites:

– l’application tangente:

de R2n dans Rm est de rang m ;

– pour tout couple k , l d’indices, on a la relation suivante:

On a alors le résultat suivant: tout système hamiltonien admettant n intégrales premières en involution et linéairement indépendantes est complètement intégrables.

Comme dans l’énoncé du théorème de Liouville, on dispose d’une infinité de fonctionnelles invariantes pour l’équation de Korteweg-de Vries, dont les premières:

avaient été déterminées par Kruskal et ses collaborateurs avant l’introduction de la méthode inverse.

D’autre part, l’équation de Korteweg-de Vries est équivalente à l’équation:

où 嗀I2/ 嗀u désigne la dérivée au sens de Gateaux de la fonctionnelle I2(u ), dérivée qui s’obtient par des méthodes standards de calcul des variations. On peut ensuite munir l’espace H1(R) d’une structure algébrique qui généralise la notion d’espace symplectique. Pour cette structure, (16) est une équation hamiltonienne et les fonctionnelles In sont en involution. Ainsi, l’équation de Kortewegde Vries fournit un exemple qui satisfait à la fois aux hypothèses et aux conclusions du théorème de Liouville en dimension infinie. Un tel théorème n’est pas encore démontré (la difficulté essentielle étant de caractériser le fait que l’ensemble des fonctionnelles invariantes est assez gros).

La détermination successive des invariants de l’équation de Korteweg-de Vries a conduit à lui associer une structure algébrique très complexe qui est reliée à la géométrie algébrique (algèbres de Kac-Moodie), néanmoins, il est facile de montrer comment faire intervenir des variétés algébriques et des fonctions analytiques dans la théorie de Korteweg-de Vries. On remarque pour cela que la fonction:

définie pour x réel, se prolonge en une fonction méromorphe dans le plan complexe. Cette remarque, jointe à la perspective d’utiliser le théorème de Liouville en dimension finie, conduit à chercher des solutions rationnelles de l’équation de Korteweg-de Vries de la forme:

En reportant le second membre de cette équation dans l’équation de Korteweg-de Vries écrite sous la forme:

on trouve que, pour que u soit solution de (17), il faut et il suffit que r j (t ) soit identique à 1 et que les x j (t ) vérifient le système différentiel ordinaire:

avec la condition:

En s’inspirant des résultats de Lax, Kruskal, Garner et Als, on montre alors que la solution de (18) coïncide avec la solution du système hamiltonien défini par:

Il n’est pas évident que le système (18), (19) ait une solution; la difficulté réside dans la relation (19). En effet, il faut vérifier que si cette relation est vérifiée pour t = 0, elle est aussi vérifiée lorsque x (t ) varie avec t . On montre que cela impose aux x i d’appartenir au plan complexe et à N d’être de la forme N = (n (n + 1))/2, pour n entier. Comme dans le cas continu, on met alors en évidence N intégrales premières en involution et on conclut que l’on obtient un système hamiltonien totalement intégrable sur la variété complexe définie par:

Pour vérifier que:

est solution de l’équation de Korteweg-de Vries (18), on utilise essentiellement la formule d’addition:

valable pour la fonction:

mais aussi pour toute fonction elliptique.

C’est pourquoi on peut reprendre la théorie en cherchant des solutions de l’équation de Korteweg-de Vries sous la forme:

où face=F9828 p est une fonction elliptique quelconque.

Les relations (18) et (19) donnent ici:

Le première difficulté est l’étude de l’invariance de la relation (22) sous l’action du système différentiel défini par (21). Il n’existe pas de résultats généraux et une telle variété invariante peut souvent être vide. Dans le cas de la fonction elliptique définie par:

on sait, pour N = 3, analyser complètement la variété invariante définie par (21) et (22).

L’étude de cet exemple peut paraître très particulière en raison de l’intégrabilité complète de l’équation de Korteweg-de Vries et de tous les calculs exacts qui ont pu être menés à bien. Pourtant, cet exemple est fondamental car une partie, et parfois la totalité, des méthodes décrites ici s’appliquant à d’autres équations qui interviennent aussi bien en physique qu’en mathématiques « pures ». Sans les expliciter, on peut citer les suivantes: l’équation de Korteweg-de Vries modifiée intervient dans l’étude des ondes d’Alfvén et des plasmas froids, l’équation de Schrödinger non linéaire dans l’étude de la focalisation des faisceaux laser, l’équation de Sine-Gordon dans les ondes de spin et l’optique non linéaire, l’équation de Boussinesq en hydrodynamique et en théorie des plasmas. L’équation de Kandomstev et Petviaschvili (qui est l’exemple principal pour lequel la théorie s’étend à plus d’une variable d’espace) intervient dans la description des milieux faiblement dispersifs.

4. Les équations de réaction-diffusion

On a vu au chapitre 2 que l’étude du comportement asymptotique des solutions de l’équation de Navier-Stokes était encore très fragmentaire. En particulier, il n’est pas possible de démontrer pour les équations de Navier-Stokes des résultats qualitatifs aussi précis que ceux que l’on observe sur des modèles à un nombre fini de degrés de liberté comme le système de Lorenz. Par contre, pour les équations de type Korteweg-de-Vries, la méthode inverse a fourni une description complète du comportement asymptotique. Ce chapitre est consacré aux équations de réaction-diffusion pour lesquelles le comportement asymptotique est encore le problème essentiel. Pour ce type d’équation, on ne dispose pas de méthode inverse. On n’aura, en général, qu’un nombre fini d’ondes solitaires ; mais le rapport de parenté avec les équations différentielles ordinaires est bien plus importante et on peut obtenir, dans certains cas, des démonstrations complètes; on s’appuie en particulier sur la théorie des systèmes dynamiques [cf. SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES].

Les équations (ou systèmes) de réaction-diffusion s’écrivent sous la forme:

u (x , t ) est une fonction vectorielle à valeurs dans Rm définie pour la variable x parcourant un ouvert 行 de Rn . Lorsque 行 est différent de Rn , on suppose que u (x , t ) vérifie sur le bord des conditions aux limites classiques. Dans cette équation, F est une fonction non linéaire régulière définie dans Rn et à valeurs dans Rn ; désigne le laplacien usuel et D(u ) est une matrice symétrique positive ou définie positive. Lorsque D est définie positive, le problème est non linéaire et parabolique, lorsque D n’est pas définie positive, on est en présence d’un problème parabolique dégénéré. Dans tous les cas, des méthodes de perturbation permettent de prouver que, pour toute donnée u 0(x ) définie à l’instant t = 0, il existe au moins, pour t petit et positif, une solution du sytème (1) qui vérifie u (x , 0) = u 0(x ).

Ces équations interviennent dans la description de phénomènes non linéaires dans lesquels la dépendance en espace introduit une évolution de type mouvement brownien. On les rencontre dans la modélisation des réactions chimiques, et, en particulier, dans les phénomènes de combustion, lorsque la vitesse de propagation de la flamme est assez lente par rapport à la cinétique chimique, contrairement au régime de détonation qui, lui, relève des systèmes hyperboliques décrits dans le chapitre 1. On les rencontre aussi dans l’analyse des facteurs intervenant dans la propagation de l’influx nerveux et dans la dynamique des populations.

Les théorèmes d’existence globale, et certains résultats asymptotiques, reposent sur la notion de région invariante, que l’on va décrire sur un exemple simple. Supposons, pour simplifier, que 行 = R; on considère des solutions u (x , t ) qui tendent vers des limites finies u + et u - lorsque x tend vers plus ou moins l’infini. On dira qu’une région 陸 de Rm (contenant u + et u -) est invariante si l’appartenance u 0(x ) 捻 陸 pour tout x réel entraîne, pour t 礪 0 (éventuellement petit), la relation u (x , t ) 捻 陸. La notion de région invariante conduit à étudier, pour t fixé, le comportement des courbes xu (x , t ) dans Rm . C’est la généralisation aux équations aux dérivées partielles de l’analyse faite, pour les équations différentielles ordinaires, à l’aide du plan des phases. On a par exemple le théorème suivant:

Supposons que D(u ) est une matrice diagonale. Alors, tout cube:

de Rm à faces parallèles aux hyperplans de coordonnées, tel que, sur chaque face, le champ F soit rentrant, est une région invariante. En effet, si la courbe u (x , t ) venait de sortir de 陸 il y aurait une valeur limite (x , t ) pour laquelle u (x , t ) atteindrait la frontière de 陸, par exemple sur la face x i = b i . Cela entraînerait que u i (x , t ) atteindrait son maximum au point (x , t ). On écrit alors la i -ième composante de l’équation (1) pour obtenir:

Comme x , t est un maximum de u i pour xR et 0 麗 tt , on a:

Comme F rentre dans 陸 et u i (x , t ) = b i , on a Fi (u ) 麗 0; ainsi, le premier terme de (2) est une somme de termes positifs dont un au moins strictement, ce qui conduit à une contradiction. De plus, une analyse plus précise permet de montrer que:

est une région invariante même si F, au lieu d’être strictement rentrant, est rentrant ou tangent.

L’existence d’une région invariante compacte permet d’obtenir pour la solution de (1) une majoration uniforme dans L size=1( 行). On en déduit que, pour t 麗 糖, (du /dt ) 漣 u est uniformément bornée dans L size=1( 行) et donc, d’après les propriétés des problèmes paraboliques, très régulière. Il en résulte ensuite que la solution est définie et régulière, non seulement pour t petit, mais pour tout t 礪 0.

On se propose dans ce qui suit de décrire trois exemples significatifs.

Le premier est l’équation scalaire:

L’expression explicite:

n’est donnée que pour simplifier les calculs. En fait, comme on peut facilement le constater, seules interviennent les propriétés géométriques globales de f . Il convient de comparer l’équation (3) à l’équation différentielle ordinaire:

On remarque que 0, 見 et 1 sont des points stationnaires pour l’équation (4), que 0 et 1 sont des points stables, tandis que 見 est un point stationnaire instable. De plus, l’intervalle [0, 1] est une région invariante pour l’équation aux dérivées partielles (3) (dans ce cas, la forme classique du principe du maximum est suffisante). Cette équation a été introduite par Fischer en 1937 et est utilisée pour décrire des problèmes de génétique des populations ou de propagation de la flamme (combustion d’une mèche), il est naturel de chercher à décrire l’existence de fronts et leur stabilité, ce qui conduit à chercher des solutions de la forme u (x , t ) = u (xct ). Reportant dans l’équation (3), on obtient l’équation différentielle ordinaire:

qui s’écrit comme un système en introduisant la variable v = u :

Un front, ou onde solitaire, est alors une solution de (5) qui vérifie les relations:

On supposera désormais que la fonction F(u ) vérifie la relation:

et on définit le point M par la relation:

Le point (0, 0) est un point hyperbolique pour le système (5) et il y a donc une solution de (5) vérifiant lim (u ( 﨡), v( 﨡)) = 0, tan 﨡漣 秊gente à la direction hyperbolique répulsive. Lorsque 﨡 augmente, v augmente jusqu’à ce que (u ( 﨡), v( 﨡)) rencontre la courbe c v = 漣 F(u ). Puis v diminue; on obtient alors deux possibilités. Soit (u ( 﨡), v( 﨡)) recoupe l’intervalle [ 見, 1] en un point Mc 礪 M, soit (u ( 﨡), v( 﨡)) recoupe la courbe c v = 漣 F(u ) en un point u 礪 1; ces deux circonstances dépendent du choix de c . La première se produit pour c petit et la seconde pour c grand. On montre alors que le point Mc est une fonction croissante de c et qu’il existe donc une unique valeur c 礪 0 telle que Mc = 1; elle correspond au front, orbite de (5), connectant les points hyperboliques (0, 0) et (1, 0) (fig. 3).

De plus, il est clair que si u (xc t ) est une onde solitaire, il en est de même de toute solution translatée. On peut alors montrer, en utilisant des théorèmes de comparaison pour les équations paraboliques non linéaires, le résultat de stabilité suivant, dû à Fife et Mac Leod: Supposons que la donnée initiale u 0(x ) soit majorée et minorée par deux ondes solitaires translatées; plus précisément, il existe A et B positifs, éventuellement grands, tels que l’on ait:

pour tout x réel. Alors, il existe un nombre D tel que u (x , t ), solution de (5), converge vers u (xc t 漣 D) (fig. 4).

La situation décrite dans ce type de problème est donc radicalement différente de celle qu’on rencontre pour les équations de Kortweg-de Vries. Il n’y a qu’une onde solitaire (à une translation près) et sa vitesse est caractéristique du problème. On a pu démontrer son existence et sa stabilité en utilisant les techniques des équations différentielles ordinaires et la monotonie.

Le problème (3) est particulièrement simple, car il est scalaire; cela correspond à des situations très simples dans lesquelles une seule quantité (ou le rapport de deux quantités) intervient. Dans le cas des systèmes, la situation est bien plus complexe.

Le deuxième exemple que nous nous proposons d’examiner est le système de Fitzugh et Nagumo. Dans leurs travaux sur la propagation de l’influx nerveux, Hodgkin et Huxley observèrent les phénomènes suivants:
a ) il existe un seuil d’excitation: toute excitation inférieure à ce seuil ne produit pas de phénomène visible;
b ) au-dessus du seuil d’excitation, on obtient un signal qui a une forme constante et se propage à vitesse constante.

Hodgkin et Huxley ont conjecturé que ce comportement était dû à la diffusion et à l’interaction non linéaire entre un potentiel électrostatique et les réactions entre eux de plusieurs ions, et donc que ce mécanisme était contrôlé par un système d’équations de réaction-diffusion. Le travail mathématique a consisté alors à montrer que les solutions du système d’Hodgkin-Huxley avaient un comportement conforme à l’expérience (existence de seuil et apparition d’ondes solitaires stables). Sans en démonter la validité, cela rend plausibles les équations de Hodgkin-Huxley. Ces propriétés ont été démontrées par C. Conley et plusieurs de ses élèves en utilisant une généralisation en dimension infinie des théorèmes de perturbation et de l’indice de Morse utilisés dans la théorie des équations différentielles ordinaires. Il n’est bien sûr pas possible de décrire ici ces travaux, mais on peut donner certaines idées en remplaçant le système de Hodgkin-Huxkley par un système plus simple, ayant les propriétés asymptotiques équivalentes, dû à Fitzugh et Nagumo:

Comme dans l’exemple précédent f (v) a le comportement qualitatif de la cubique:

les nombres 靖, 塚, et 﨎 sont des constantes positives et la droite 靖 v 漣 塚 u = 0 rencontre la courbe u = f (v) uniquement au point 0.

On observe en premier lieu l’existence de deux familles de régions invariantes, celles qui sont limitées par des grands rectangles R et celles qui sont limitées par des petits rectangles R. Sur la figure 5 on a représenté un rectangle R et un rectangle R en indiquant par des flèches la direction du champ (f (v) 漣 u , 靖v 漣 塚u ). On désigne alors par R+ le plus petit rectangle de la famille R et par R- le plus grand rectangle de la famille R. Reprenant les théorèmes de comparaison qui ont conduit à la notion de région invariante, on démontre facilement les résultats suivants:

– pour toute donnée initiale (v0(x ), u 0(x )) définie sur R, continue, et tendant vers 0 pour |x |秊, le système (9), (10) admet une unique solution (v(x , t ), u (x , t )) définie pour tout t 礪 0: pour t assez grand, la courbe x 料 (v(x , t ), u (x , t )) est contenue dans le rectangle R+;

– de plus, si la courbe x 料 (v0(x ), u 0(x )) est contenue dans R-, la solution (v(x , t ), u (x , t )) converge exponentiellement vers 0 lorsque t tend vers l’infini.

On a ainsi déjà mis en évidence deux notions: d’une part une région globalement attractante (dans le plan des phases) et d’autre part un bassin d’attraction de (0, 0) qui correspond au phénomène de seuil si l’excitation est trop petite: pour (v0(x ),u 0(x )) 捻 R- pour tout xR, la solution tend exponentiellement vers 0.

On remarque ensuite que (0, 0) est un attracteur global pour l’équation:

mais l’apparition du terme de viscosité 煉2v/ 煉x 2 modifie la première équation et, pour v(x , t ) (pour t fixé) introduit, là où cette courbe est convexe, un facteur de répulsion qui permet à la courbe de rester à l’extérieur du petit rectangle (fig. 5). On obtient une solution rigoureuse en cherchant des solutions de la forme:

ce qui, en introduisant la variable w = d v/d 﨡, où 﨡 = xct , conduit au système différentiel ordinaire:

On étudie alors, par des méthodes de perturbation, le système (15) pour 﨎 petit. Le choix de cette situation ( 﨎 petit) se justifie en disant que les deux phénomènes, variation du potentiel v, et variation de u (réaction chimique) se produisent à des échelles de temps très grandes l’une par rapport à l’autre. On peut alors, pour 﨎 petit, prouver l’existence d’une onde stationnaire stable.

Le troisième exemple que nous allons décrire très brièvement est la réaction de Bielouzov-Zabotinski. En 1959, Bielouzov a découvert, dans l’oxydation de l’acide malonique par le bromate de potassium, en présence d’ions cérium, des mécanismes de structuration spatiotemporels autoentretenus qui se présentent comme une superposition d’ondes solitaires radiales (fig. 6). L’analyse des mécanismes de réaction conduit à écrire un système à trois inconnues principales: X 令 HBr2, Y 令 Br- et Z forme oxydée de l’ion cérium.

On a alors le système:

où D, 見, 廓, 塚, 嗀 désignent des constantes positives. Comme X, Y, Z désignent des concentrations de produits chimiques, il est naturel de décider qu’on se limite aux solutions du système (16) positives et bornées. En fait, on montre facilement que si a , b , c vérifient les inégalités:

la région:

est invariante pour le système (16).

Le système différentiel ordinaire associé à (16), obtenu en supprimant la viscosité, a deux points stationnaires, (0, 0, 0) et (X0, 塚X0/(1 + X0), X0), où X0 est la solution positive d’une équation du second degré. Lorsque 廓 est petit, ce point est instable, et on peut prouver l’existence de solutions homogènes en espaces et périodiques en temps (ce qui correspond à des configurations observées expérimentalement); par contre, pour 廓 grand, le point stationnaire est stable et il n’y a pas de solution homogène périodique en temps. On écrit alors le système différentiel correspondant qui a une solution onde solitaire; introduisant comme dans les exemples précédents la nouvelle variable N = d X/d 﨡, 﨡 = xct , on obtient un nouveau système différentiel qui possède bien la nouvelle solution stationnaire:

par contre, ce point est instable et on peut prouver qu’il existe dans son voisinage une solution périodique, donc une onde solitaire périodique, qui, elle sera stable pour le système d’évolution. On a ainsi montré que, pour 廓 assez grand, on observe un phénomène périodique en espace temps.
Voici, en conclusion, quelques remarques générales.

1. Les équations de réaction-diffusion mettent en jeu la compétition entre des phénomènes non linéaires locaux et des phénomènes de diffusion en espace. Leur étude permet d’analyser l’apparition de solutions qui se propagent à cause de la diffusion, en conservant leur forme à cause de la non-linéarité. Cet aspect de compétition a aussi beaucoup été utilisé dans la dynamique des populations. On considère deux familles d’animaux (insectes, bactéries, etc.) vivant dans le même domaine 行. On en déduit un système d’équations de réaction-diffusion, avec région invariante, dans lequel le facteur de diffusion dépend, à un changement d’échelle près, de la taille de 行. Supposons que 0 est un attracteur stable; on montre alors, si 行 est petit, que la solution tend toujours vers 0. Les prédateurs mangent toutes les proies, puis, n’ayant plus rien à manger, disparaissent. Par contre, si la diffusion est grande, on observe un phénomène d’oscillations en espace et en temps, comme dans la réaction de Bielousov-Zabotinski: les proies réussissent à s’échapper et à se reproduire avant d’être à nouveau atteintes par le prédateur et le phénomène se réitère.

2. La méthodologie a été de partir de l’analyse des équations différentielles ordinaires et d’en généraliser les outils classiques: régions invariantes, principes du maximum, points stables, etc. Nous en avons donné les aspects les plus simples. Le développement systématique des outils mathématiques dans ce domaine est dû à Conley et Smoller, une étape essentielle étant la généralisation de l’indice de Morse en dimension infinie.

3. Le terme de diffusion a été utilisé à propos de mouvements de population ou de densité de type brownien. Comme pour tous les problèmes qui introduisent des expressions de la forme:

le rapport avec les probabilités est très étroit, et il existe aussi des analyses probabilistes de ce type de phénomènes.

Encyclopédie Universelle. 2012.


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